3.8 Relativité restreinte

Leçon / Ondes
  • Les deux postulats d’Einstein
  • Temps propre et temps relatif
  • Relativité de la simultanéité

 

Imaginons deux personnes se déplaçant l’une par rapport à l’autre à vitesse constante dans un univers vide. La personne B peut tout aussi bien que la personne A affirmer qu’elle est au repos et que l’autre est en mouvement. S’il n’existe aucun référentiel absolu et que les référentiels ne sont pas accélérés, rien ne permet de distinguer si une des personnes est en mouvement ou au repos. Seul le mouvement relatif d’un référentiel par rapport à l’autre peut être observé par les personnes.

Comme il n’existe pas de référentiel de référence, il apparaît raisonnable de penser que les lois de la physique observées par les deux personnes seront les mêmes. Par exemple, si la personne A fait une expérience sur la conservation de l’énergie dans son référentielle, la personne B devrait obtenir les mêmes résultats si elle fait la même expérience dans son référentiel. Si ce n’était pas le cas, il y aurait une asymétrie et un référentiel serait privilégié par rapport à l’autre.

C’est sur la base de ce raisonnement qu’Einstein énonça sont premier postulat.

{\em Les lois de la physique sont les mêmes dans tous les référentiels inertiels.}

Ce qui implique que les lois de l’électromagnétisme ne dépendent pas de la vitesse des référentiels. Or, supposons qu’une onde lumineuse soit générée dans le référentiel A. l’électromagnétisme nous dit que cette onde lumineuse est une variation auto-entretenue d’un champ électrique et d’un champ magnétique. Supposons maintenant que le référentiel B se déplace par rapport au référentiel A à la même vitesse que cette onde. Dans le référentiel B les champs électrique et magnétique apparaîtraient constants. Ce ne serait donc plus une onde lumineuse et la présence d’un champ magnétique sans variation de champ électrique contreviendrait aux lois de l’électromagnétisme.

Pour respecter sont premier postulat et les lois de l’électromagnétisme, qui connaissaient de grands succès expérimentaux, Einstein énonça un second postulat.

{\em La vitesse de la lumière dans le vide est la même dans tous les référentiels inertiels. Elle ne dépend pas de la vitesse de la source ou de l’observateur.}

La relativité restreinte est la conséquence de ce deuxième postulat. Voyons son implication sur les quantités physiques que sont le temps et l’espace.

Imaginons une horloge à impulsion lumineuse. Une courte impulsion de lumière est envoyée sur un miroir qui la réfléchi à son point d’origine. La mesure du temps se fait en enregistrant le délai d’un aller retour de l’impulsion lumineuse. C’est le temps propre de l’horloge

(1)   \begin{equation*} t_0 = 2L/c \end{equation*}

c est la vitesse de la lumière dans le vide.

Imaginons maintenant que cette horloge soit dans un référentiel S et qu’une personne dans un référentiel S' en mouvement par rapport à S regarde cette horloge. Pour cette personne, l’horloge se déplace. Entre le temps initial de l’émission d’une impulsion et le temps de sa réception le déplacement de l’horloge observé par la personne est vt', où v est la vitesse relative des référentiels S et S' et t' le temps mis par l’impulsion lumineuse pour effectuer son aller-retour tel que mesuré dans le référentiel S'. Selon le second postulat, pour la personne en S' l’impulsion se déplace toujours à la vitesse c. Son trajet total sera ct'. En utilisant le théorème de Pythagore on obtient

(2)   \begin{align*} L^2+\left(\frac{vt'}{2}\right)^2 &= \left(\frac{ct'}{2}\right)^2 \\ L^2 &=(c^2-v^2)\left(\frac{t'}{2}\right)^2 \\ t' &=\frac{2L}{\sqrt{c^2-v^2}}\\ t' &=\frac{2L}{c}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{align*}

Comme 2L/c est égale au temps propre de l’horloge, il en résulte que

(3)   \begin{equation*} t'=t_0\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}. \end{equation*}

On écrit habituellement

(4)   \begin{align*} \gamma &= \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \\ t' &=\gamma t_0 \end{align*}

et si v est non nulle, gamma est plus grand que 1. Ce que nous dit cette relation c’est que la personne en S' verra le temps de l’horloge en S s’écouler plus lentement que le temps mesuré dans S'. Autrement dit, une personne en S, dans le même référentiel que l’horloge, verra le temps de l’horloge s’écouler plus rapidement qu’un personne en S' observant la même horloge.

De plus, il y a réciprocité. Si chaque personne à une horloge identique. Elles verront le temps de l’horloge de l’autre personne, s’écouler plus lentement.

Voyons maintenant les conséquences du second postulat sur les dimensions spatiales. Imaginons qu’une personne se trouve au centre d’une pièce de longueur L_0 telle que mesurée par cette personne. À chaque extrémité se trouvent deux horloges identiques. La personne étant au centre de la pièce, le temps que mettra la lumière pour voyager d’une horloge vers elle sera le même pour les deux horloges.

Imaginons maintenant que le référentiel S' de cette personne B soit en mouvement à une vitesse v par rapport au référentiel S d’une seconde personne A. Les deux personnes mesurent le temps que prennent les deux extrémités de la pièce pour franchir un certain repère dans le référentiel S. En S' les deux horloges envoient un signal lumineux lorsqu’elles franchissent le repère. Puisque le délai pour se rendre à la personne B est le même pour les deux signaux, B pourra établir la relation suivante

(5)   \begin{equation*} L_0 = vt' \end{equation*}

ou t' est le temps entre les deux signaux lumineux reçus par B.

En S, la personne A mesure le délai entre le passage de la première extrémité et celui de la seconde extrémité qui équivaut à t. A obtient la relation suivante

(6)   \begin{equation*} L = vt \end{equation*}

L est la longueur de la pièce mesurée dans le référentiel S. Puisque

(7)   \begin{align*} t' = \gamma t \\ t=\frac{1}{\gamma}t' \\ L=\frac{1}{vt'}. \end{align*}

Puisque vt' = L_0,

(8)   \begin{equation*} L=\frac{1}{\gamma}L_0. \end{equation*}

Comme \gamma > 1, la personne A mesurera une longueur de la pièce L plus courte que la personne B. Il y a contraction des longueurs du référentiel en mouvement.

Ainsi lorsqu’un référentiel est en mouvement par rapport à nous, on perçoit une dilatation du temps de ce référentiel et une contraction des longueurs selon la direction du mouvement relatif.

Il semble paradoxale que deux personnes en mouvement l’une par rapport à l’autre perçoivent le mètre que l’autre tient dans sa main comme étant plus court que le sien. Cet apparent paradoxe vient du fait que l’on croît, à tort, que les deux personnes perçoivent les extrémités du mètre de leur voisin de passage simultanément.

En réalité, la simultanéité des événements d’un référentiel en mouvement à l’autre est impossible.

Voyons l’exemple d’un train arrêté en gare. Une personne assise au milieu du train est en face d’une personne au milieu du quai. Les extrémités du train coïncident avec les extrémités du quai. Si un dispositif génère des étincelles quand une des extrémités du train est vis-à vis une des extrémités du quai, les deux personnes verront simultanément la lumière de ces étincelles leur parvenir de la tête et de la queue du train, puisqu’ils sont à mi chemin entre ces extrémités. Tout le monde est ici dans le même référentiel.

Le même train ce déplace maintenant à une vitesse égale à la moitié de la vitesse de la lumière v=0,5c et passe sans s’arrêter devant le quai. La personne dans le train voit le quai se déplacer. Pour elle la longueur du quai sera L=\frac{1}{\gamma}L_0. L_0 étant la longueur du train. Ce qui donne L=\sqrt{0,75}L_0. Pour le passager du train le quai est plus court que le train. La tête du train produira une étincelle avant la queue du train.

Par contre, la personne sur le quai verra le train passer à 0,5c et mesurera sa longueur comme étant égale à L=\frac{1}{\gamma}L_0 = \sqrt{0,75}L_0, où L_0 est la longueur du quai. Pour la personne sur le quai, le train est plus court que le quai et une étincelle se produira d’abord à la queue du train.

La production d’étincelles à la tête et à la queue du train est non seulement plus simultanée lorsque le train est en mouvement par rapport au quai, mais en plus l’ordre des étincelles est différent selon le référentiel dans lequel on se trouve.

Alors qui a raison, le passager du train ou la personne sur le quai ? Les deux ont raison dans leur référentiel propre. C’est là le principe de relativité.