3.5 Les ondes sonores

Leçon / Ondes
  • Ondes sonores stationnaires résonantes
  • L’effet Doppler
  • Les battements

 

Lorsqu’une onde se propage sur une corde, le déplacement de la corde est perpendiculaire à la direction de l’onde. On dit que l’onde est transversale. Les ondes sonores sont également des ondes mécaniques, mais le déplacement des molécules d’air, qui servent de support à l’onde, se déplace dans la direction de propagation de l’onde. On dit que l’onde est longitudinale. Il serait peu commode de représenter une onde sonore par les différentes pressions causées par le déplacement de l’air. On choisi plutôt de représenter l’onde par une sinusoïde dont l’amplitude correspond au déplacement longitudinal de l’air.

En utilisant cette représentation de l’onde sonore, on peu dessiner les différents harmoniques d’une onde sonore résonante présente dans un tuyau; par exemple celui d’une flûte. Si une extrémité du tuyau est fermée, le déplacement de l’air sera nul à l’extrémité fermée et sera maximal à l’extrémité ouverte. Dans le mode fondamental, la longueur du tuyau sera le quart de la longueur d’onde. Le deuxième harmonique aurait une longueur d’onde deux fois plus petite que celui du premier harmonique. Cependant, si cet harmonique était présent, il n’y aurait aucun déplacement d’air à l’embouchure du tuyau, alors qu’il doit y être maximal. Le deuxième harmonique est par conséquent absent dans un tuyau dont une extrémité est fermée.

Le troisième harmonique, par contre, sera présent et la longueur du tuyau sera égale aux 3/4 de la longueur d’onde. Le quatrième harmonique sera absent pour la même raison que le deuxième. Pour le cinquième harmonique, la longueur du tuyau sera égale aux 5/4 de la longueur d’onde. Dans un tuyau dont une des extrémités est fermée, seuls les harmoniques impaires seront présents et la longueur du tuyau sera un multiple impair du quart des longueurs d’ondes.

Si le tuyau est ouvert aux deux extrémités, les déplacements de l’onde y résonant devront être maximal aux extrémités. Le première harmonique sera représenté par deux demis ventres. La longueur du tuyau sera égale à la moitié de la longueur d’onde. Cette fois le deuxième harmonique sera également présent et sa longueur d’onde sera égale à celui du tuyau. Pour le troisième harmonique, la longueur du tuyau sera 3 fois et demi celle de la longueur d’onde. Et pour le quatrième harmonique, la longueur du tuyau sera le double de la longueur d’onde. Dans un tuyau ouvert au deux extrémités tous les harmoniques d’une onde sonore résonante peuvent donc être présents et la longueur du tuyau correspondra à un multiple entier des demi-longueurs d’ondes.

Imaginons maintenant deux sources sonores émettant deux ondes de même amplitude et de fréquences proches mais pas identiques. Les fonctions d’ondes sont

(1)   \begin{align*} y_1=A\sin(k_1x-\omega_1t) \\ y_2=A\sin(k_2x-\omega_2t). \end{align*}

Un auditeur entendra la superposition de ces deux ondes. Pour simplifier les équations on peut placer l’auditeur arbitrairement à la position x=0. En utilisant l’identité

(2)   \begin{equation*} \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \end{equation*}

on obtient la somme

(3)   \begin{equation*} y_1(0,t)+y_2(0,t) = 2A\sin\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t\right)\cos\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t\right). \end{equation*}

La superposition qu’entendra l’auditeur sera une onde dont la fréquence est la moyenne des fréquences des sources et dont l’amplitude sera modulée selon un cosinus. C’est l’enveloppe de la fonction d’onde. Ce phénomène appelé battement est particulièrement audible lorsque deux instruments de musique s’accordent.

Un phénomène sonore très courant qui survient lorsqu’une source se déplace par rapport à un auditeur est l’effet Doppler. Du nom du physicien autrichien qui en a formulé le principe.

Supposons une source sonore ponctuelle qui émet un son dont la longueur d’onde est donné par \lambda=vT, v étant la vitesse du son dans l’air et T la période de l’onde sonore. Supposons également qu’au temps t_1 une crête d’onde soit émise par la source. Au temps t_2 Après un intervalle de temps T cette crête se sera propagée sur une longueur d’onde et sera à une distance vT de sa position au temps t_1. Si la source se déplace à une vitesse v_s elle se trouvera au temps t_2 à une distance v_sT de sa position au temps t_1 et émettra une nouvelle crête d’onde à cet instant. Un auditeur se trouvant selon l’axe de déplacement de la source percevra comme distance entre les deux crête

(4)   \begin{equation*} \lambda' = (v-vs)T. \end{equation*}

Puisque \lambda' = v/f', et que la période est l’inverse de la fréquence, on peut écrire

(5)   \begin{equation*} \frac{v}{f'} = (v-v_s)\frac{1}{f}. \end{equation*}

En isolant f' on trouve que la fréquence perçu par l’auditeur sera égale à

(6)   \begin{equation*} f'=f\frac{v}{v-v_s} \end{equation*}

lorsque la source s’approche de l’auditeur.
Si la source s’éloigne on obtient avec un raisonnement similaire que

(7)   \begin{equation*} f'=f\frac{v}{v+vs}. \end{equation*}

Si la source sonore est fixe la période entre deux crêtes d’onde sera T=\lambda/v. Si un auditeur se dirige vers la source à une vitesse v_a, le temps qu’il prendra pour franchir deux crêtes sera

(8)   \begin{equation*} T'=\frac{\lambda}{v+v_a}. \end{equation*}

Puisque \lambda=v/f et T'=1/f', la fréquence perçu par l’auditeur f', sera

(9)   \begin{equation*} f'=f\frac{v+v_a}{v}. \end{equation*}

De la même façon, si l’auditeur s’éloigne de la source

(10)   \begin{equation*} f'=f\frac{v-v_a}{v}. \end{equation*}

En combinant les équations pour les déplacements de la source et de l’auditeur, quatre situations sont possibles.

  1. L’auditeur et la source se dirige l’un vers l’autre la fréquence perçue par l’auditeur est la plus élevée possible.

    (11)   \begin{equation*} f'=f\frac{v+va}{v-vs}. \end{equation*}

  2. L’auditeur fuit la source et la source poursuit l’auditeur. La fréquence perçue par l’auditeur est

    (12)   \begin{equation*} f'=f\frac{v-va}{v-vs}. \end{equation*}

  3. La source et l’auditeur se fuient. La fréquence perçue est la plus basse possible.

    (13)   \begin{equation*} f'=f\frac{v-va}{v+vs}. \end{equation*}

  4. L’auditeur poursuit la source et la source fuit l’auditeur.

    (14)   \begin{equation*} f'=f\frac{v+va}{v+vs}. \end{equation*}

Notez qu’entre ces quatre cas, la direction des vitesses de l’auditeur ou de la source varient, mais la vitesse du son est toujours la même. C’est pourquoi nous n’obtenons jamais le même résultat selon les vitesses relatives de l’auditeur et du son et de la source et du son.

Terminons avec le cas d’une source qui se déplace à une vitesse égale ou supérieure à celle du son. Dessinons la position de la source à t_1, t_2, t_3, t_4 et t_5 correspondants à des multiples de la période de l’onde sonore. Traçons maintenant la position des crêtes d’onde au temps t_5. La crête émise au temps t_1 sera à une distance de son point d’émission égal à 4 fois la longueur d’onde donnée par vT. La crête émise au temps t_2 sera à une distance de son point d’émission égale à 3 fois la longueur d’onde vT et ainsi de suite. La superposition des crêtes crée un front d’onde de choc, faussement appelé «mur du son» dans le langage populaire. L’angle que ce front d’onde fait avec la direction de la source est donné par

(15)   \begin{equation*} \sin\alpha = \frac{v}{v_s}. \end{equation*}

Un auditeur fixe entendra un seul bang lorsque le front d’onde franchira sa position. Mais le cône du front d’onde peut également produire des images spectaculaires comme celle-ci d’une fusée Atlas 5 franchissant à une vitesse supersonique une mince couche de nuages.