3.4 Les ondes mécaniques

Leçon / Ondes
  • Les ondes progressives
  • Les ondes stationnaires
  • Réflexion et transmission

 

Une personne tient une corde tendue dont une des extrémités est fixée à un mur. Lorsqu’elle donne une impulsion à la corde, la perturbation se propage le long de la corde. Le déplacement de cette perturbation est une onde progressive.

Si à t=0 la forme de l’onde est donnée par y=f(x), à un temps ultérieur t, l’onde se sera déplacée sur une distance d=vt. Si l’onde ne s’est pas déformée, y'=f(x') dans le référentiel de l’onde en mouvement. Cependant, on voudrait exprimer la fonction y dans le référentiel fixe de la personne. Puisque

(1)   \begin{align*} x&=x'+vt, \\ x'&=x-vt. \end{align*}

Et on peut faire la substitution pour obtenir y =f(x-vt) soit la valeur de y a tout instant t.

L’argument (x-vt) est caractéristique d’une fonction d’onde. Quelque soit la fonction, si l’argument peut être ramené sous la forme (x-vt) il s’agit de l’équation d’une onde progressive dans la direction des x positif. Le signe négatif peut prêter à confusion, mais l’onde se propage bien dans le sens positif des x si l’argument de la fonction est (x-vt) et elle se propagera dans le sens négatif des x si l’argument de la fonction est (x+vt).

Qu’arrive-t-il lorsque l’onde atteint le mur. Le mur étant rigide et fixe, il ne peut absorber l’énergie du mouvement de l’onde. Celle-ci sera réfléchie. L’onde rebondira sur le mur. Par contre lors de la réflexion, l’onde sera inversée.

Si la corde était attachée à une seconde corde de plus grande densité, une partie de l’onde serait transmise et une partie serait réfléchie et inversée.

Au contraire, si la corde était attachée à une seconde corde de densité plus faible. Une partie de l’onde serait transmise et une partie serait réfléchie, mais cette fois la réflexion serait droite et non inversée.

Si deux ondes se croisent, elles se superposent momentanément. La forme résultante est la somme des déplacements des deux ondes. Si les deux ondes sont identiques, mais inversée l’une par rapport à l’autre, la corde sera momentanément droite. Après s’être croisées les deux ondes poursuivent leur course sans être affectées.

Voyons maintenant comment construire l’équation d’une onde progressive sinusoïdale à partir de ce que nous connaissons de l’oscillateur harmonique. Imaginons un système masse-ressort dont la position en fonction du temps est donnée par

(2)   \begin{equation*} y= A\sin(\omega t+\phi). \end{equation*}

Plaçons plusieurs de ces oscillateurs identiques côte à côte de sorte que chacun ait une constante de phase \phi_x différente en fonction de sa position x. Pour obtenir une sinusoïde le rapport de la constante de phase \phi_x/(2\pi) sera le même que celui de x/\lambda d’un cycle complet de la sinusoïde. Cette longueur dénotée \lambda est la longueur d’onde. On obtient

(3)   \begin{equation*} \phi_x = \frac{2\pi}{\lambda} x. \end{equation*}

Et la fonction représentant l’ensemble des oscillateurs peut s’écrire

(4)   \begin{equation*} y = A\sin\left(\omega t + \frac{2\pi}{\lambda} x\right). \end{equation*}

Puisque \omega=2\pi/T, en mettant 2\pi/\lambda en évidence dans l’argument du sinus on obtient

(5)   \begin{equation*} y = A\sin\left[\frac{2\pi}{\lambda}\left(\frac{\lambda}{T}t + x\right)\right]. \end{equation*}

Le rapport \lambda/T représente la vitesse de propagation de l’onde. On peut donc écrire que

(6)   \begin{equation*} y=A\sin\left[\frac{2\pi}{\lambda}(x+vt)\right] \end{equation*}

qui représente bien l’équation d’une onde sinusoïdale se propageant vers la gauche. En mettant le signe de vt négatif, on obtient une onde sinusoïdale se propageant selon la direction positive des x tel que prévu.

Le modèle d’oscillateurs que nous venons de construire ne représente cependant pas une onde mécanique. Cette onde apparente ne peut pas propager de l’énergie, les oscillateurs étant indépendants. Par contre, s’ils sont reliés par une corde, le déphasage des oscillateurs n’est plus fortuit, mais correspond à un déplacement d’énergie dans la corde. C’est maintenant une onde mécanique.

Ainsi chaque élément d’une corde tendue peut être considéré comme un oscillateur. La tension dans la corde remplace le ressort et la vitesse de propagation de l’onde est donnée par

(7)   \begin{equation*} v=\sqrt{\frac{F}{\mu}} \end{equation*}

F est la tension dans la corde et \mu la masse par unité de longueur de la corde. Puisque \omega=2\pi/\lambda\cdot v alors la fréquence angulaire des oscillations d’un élément de la corde sera donné par

(8)   \begin{equation*} \omega = \frac{2\pi}{\lambda}\sqrt{\frac{F}{\mu}}. \end{equation*}

Si deux ondes sinusoïdales identiques mais de sens contraire se propagent sur une corde, la fonction résultante sera donnée par

(9)   \begin{equation*} y=A\sin\left[\frac{2\pi}{\lambda}(x-\omega t) \right]+ A\sin\left[\frac{2\pi}{\lambda}(x+\omega t)\right]. \end{equation*}

En utilisant l’identité trigonométrique

(10)   \begin{equation*} \sin\alpha +\sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \end{equation*}

on obtient

(11)   \begin{equation*} y=2A\sin\left(\frac{2\pi}{\lambda}x\right)\cos(\omega t). \end{equation*}

Il ne s’agit plus d’une onde progressive puisqu’on ne retrouve pas l’argument (x-vt). La partie spatiale est séparée de la partie temporelle. C’est une sinusoïde dont chaque position est modulée par une oscillation donnée par \cos(\omega t) cette oscillation est en phase pour tout les éléments de la corde. Il s’agit maintenant d’une onde stationnaire.