3.3 Les oscillations

Leçon / Ondes
  • L’oscillation harmonique simple
  • L’énergie dans un mouvement harmonique simple
  • Pendules simples et composés

 

Imaginons une masse m au repos sur une surface sans frottement et attachée à un ressort. On déplace la masse horizontalement sur une distance A, puis on la relâche. La force exercée sur la masse est alors uniquement celle du ressort et est égale à -kA. Où k est la constante de rappel du ressort. Cependant, cette force n’est pas constante quand la masse retourne vers sa position de repos. À chaque position x de la masse, la force sera égale à -kx qui est égale à ma. Puisque la force est variable l’accélération le sera également. On écrit donc

(1)   \begin{align*} -kx &= m\frac{d^2x}{dt^2} \\ \frac{d^2x}{dt^2} +\frac{k}{m} x &= 0. \end{align*}

Cette équation est une équation différentielle du second degré. x est une fonction du temps. Pour trouver x, il faut trouver une fonction du temps telle que la dérivée seconde de cette fonction soit égale à moins la fonction multipliée par k/m.

De telles fonctions sont connues. Il y a la fonction sinus, la fonction cosinus, mais aussi la fonction exponentielle. Par contre, pour que la dérivée seconde de l’exponentielle soit égale à moins l’exponentielle, il faut que l’argument de la fonction soit imaginaire. Ces trois fonctions sont solutions de notre équation différentielle. La solution générale doit donc être une combinaison de ces trois fonctions. Or on peut démontrer que

(2)   \begin{equation*} e^{i\omega t} = \cos{\omega t} + i \sin{\omega t}. \end{equation*}

L’exponentielle étant déjà une combinaison des fonctions cosinus et sinus, nous la considérerons comme solution générale de notre équation différentielle. Cependant, cette fonction est complexe. Elle a une partie réelle et une partie imaginaire. Et le mouvement de notre masse, lui est bien réel. Comment pourrait-il y avoir une partie de la solution qui soit imaginaire? Voyons comment nous pouvons interpréter cela.

Dessinons un chronomètre dans le plan complexe dont la partie réelle de l’aiguille indique la position de la masse. À l’instant où on relâche la masse, on démarre le chronomètre. La vitesse angulaire de l’aiguille est constante et sa projection sur l’axe des réels correspond bien au cosinus de son angle avec cet axe.

À un instant donné, l’angle de l’aiguille avec l’axe réel est égal à \omega t, \omega étant la vitesse angulaire de l’aiguille. Puisque la solution de notre oscillateur masse-ressort est proportionnelle à

(3)   \begin{align*} e^{i \sqrt{k/m}\cdot t}= e^{i \omega t}, \\ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}. \end{align*}

Il s’agit bien de la vitesse angulaire de l’aiguille du chronomètre, mais pour la masse, comme celle-ci ne tourne pas, \omega représente la fréquence angulaire. L’aiguille fait un tour complet lorsque 2 \pi = \omega T, où T est la période de l’oscillation.

Nous avons arbitrairement choisi ici que l’aiguille tournait dans le sens positif. Or elle pourrait tourner dans le sens négatifs et sa projection sur l’axe des réels serait la même.
Comme ces deux solutions sont possibles, la solution générale sera une combinaison de ces deux solutions. Notre chronomètre a donc deux aiguilles tournant en sens inverse dans le plan complexe. Les parties imaginaires de ces deux aiguilles s’annulent à tout instant, ne laissant qu’une solution réelle comme nous nous y attendions puisque l’oscillateur est réel.

Jusqu’à maintenant vous avons décrit le mouvement des aiguilles, mais il faut aussi tenir compte de leur longueur. La somme des projections maximales des aiguilles sur l’axe des réels devant être égale à A, nous pouvons écrire que

(4)   \begin{equation*} x= A \left(\frac{e^{i \omega t} + e^{-i\omega t}}{2}\right). \end{equation*}

A est l’amplitude de l’oscillation, \omega = \sqrt{k/m} et les deux exponentielles représentent le mouvement des deux aiguilles. Chaque aiguille contribue à la moitié de la solution, c’est pourquoi on divise par deux.

En développant les deux exponentielles, on trouve

(5)   \begin{equation*} x = \frac{1}{2}A[ \cos{\omega t} + i \sin{\omega t} + \cos{(-\omega t)} + i \sin{(-\omega t)}]. \end{equation*}

Puisque

(6)   \begin{align*} \cos{(-\omega t)} &= \cos{\omega t} \;\mbox{et}\\ \sin{(-\omega t)} &= -\sin{\omega t} \end{align*}

Donc

(7)   \begin{equation*} x = A\cos{\omega t}. \end{equation*}

Tout ça pour ça direz-vous! Oui, mais maintenant nous savons que notre solution est complète et nous avons vu un nouvel outils, la fonction exponentielle, qui simplifie les calculs lorsque la complexité de l’équation différentielle augmente. Par exemple, lorsque l’oscillateur est forcé et amortie.

Il manque cependant une chose pour que la solution soit vraiment complète. Il est possible en effet qu’à t=0 la masse ne soit pas à son amplitude maximale, mais à une position quelconque dans son mouvement. On ajoutera donc un terme de déphasage pour tenir compte de la position au temps zéro. Et puisqu’on peut exprimer le déphasage de plusieurs façons, on peut tout aussi bien exprimer x par la fonction sinus. Par convention, c’est généralement la fonction en sinus qui est utilisée pour représenter x.

Comparons maintenant la position, la vitesse et l’accélération de la masse.

(8)   \begin{align*} x &= A\sin{(\omega t + \phi)}, \\ v = \frac{dx}{dt} &=A\omega\cos{(\omega t+\phi)},\\ a = \frac{d^2x}{dt} &= -A\omega^2\sin{(\omega t+\phi)}\\ a &= -\omega^2x. \end{align*}

\omega^2 étant égale à k/m, si on multiplie les deux côtés de cette dernière équation par m, on obtient bien ma=-kx, qui est la force du ressort.

En traçant chacune de ces fonctions, on remarque que la vitesse est nulle lorsque la masse est à son amplitude maximale. Et qu’elle a sa grandeur maximale lorsque la masse est à la position x=0.

Par ailleurs l’accélération est négative lorsque la position de la masse est positive et elle est positive quand la position de la masse est négative.

À remarquer également que la grandeur de l’accélération est maximale lorsque la vitesse est nulle! Et l’accélération est nulle lorsque la grandeur de la vitesse est maximale.

Terminons en présentant un autre oscillateur; soit le pendule simple constitué d’une masse m suspendu par un fil de masse négligeable et de longueur L. Lorsqu’il est déplacé de sa position d’équilibre, la force gravitationnelle induit un moment de force au pendule donné par

(9)   \begin{align*} \tau &= -Lmg\sin{\theta} \\ &= I\alpha. \end{align*}

I étant le moment d’inertie de la masse et \alpha l’accélération angulaire du pendule. En considérant la masse ponctuelle, on obtient

(10)   \begin{align*} I\alpha &= mL^2 \frac{d^2\theta}{dt^2}. \\ \frac{d^2\theta}{dt} + \frac{g}{L}\sin\theta &=0. \end{align*}

Cette équation n’est pas la même que celle du système masse-ressort que nous avons vu. Cependant si le pendule oscille avec de petite amplitudes, nous pouvons utiliser l’approximation des petits angles pour laquelle \sin\theta \approx \theta. Pourvu que \theta soit exprimé en radians.

Qu’elle est l’erreur induite par cette approximation? Si \theta est égal à \frac{\pi}{12} (soit 15^\circ), \sin\theta = 0,259 ce qui donne environ 1\% d’erreur. Si theta égale \frac{\pi}{6} (soit 30^\circ), \sin\theta = 0,5 ce qui donne moins de 5\% d’erreur.

En réécrivant l’équation différentielle du pendule avec l’approximation des petits angles on obtient

(11)   \begin{equation*} \frac{d^2\theta}{dt} + \frac{g}{l}\theta =0. \end{equation*}

Qui maintenant a la même forme que l’équation du système masse-ressort. La fréquence angulaire du pendule est donnée par \sqrt{g/L} et est indépendante de sa masse. La période du pendule est 2\pi\sqrt{L/g}.

Il faut faire bien attention de distinguer la vitesse angulaire du pendule donnée par \omega_v = \frac{d\theta}{dt}, qui est le tau de variation de l’angle \theta, d’avec la fréquence angulaire \omega_f = \sqrt{g/L} qui est constante et qui représente le nombre d’oscillations par seconde multiplié par 2\pi.

Les oscillations que nous avons décrites sont appelées oscillations harmoniques simples et constitue la base de la mécanique des ondes. Cependant, ce ne sont pas toutes les oscillations qui peuvent être décrites aussi simplement!