3.1 Optique géométrique

Leçon / Ondes
  • La réfraction
  • La réflexion
  • Principe de Fermat
  • Miroirs elliptique et parabolique

 

Héron d’Alexandrie qui a vécu au premier siècle de notre ère a tenté le premier d’expliquer la trajectoire de la lumière en invoquant un principe d’optimisation. Celui-ci stipulait que la trajectoire prise par la lumière pour voyager entre deux points est la plus courte possible. Ce principe s’appliquait à la lumière directe ou réfléchie.

Cependant, ce principe n’était pas applicable si la lumière traversait des milieux différents comme l’air et l’eau. On remarque en effet que le trajet d’un rayon de lumière se brise lorsqu’il passe de l’air à l’eau. Ce phénomène de réfraction a été quantifié de façon indépendante par Snell et Descartes en 1621 et 1637.

La relation entre l’angle incident et l’angle réfracté dépend de la vitesse de la lumière dans les différents milieux et est donnée par

(1)   \begin{equation*} \frac{c}{v_i} \sin{\theta_i} = \frac{c}{v_r} \sin{\theta_r} \end{equation*}

c étant la vitesse de la lumière dans le vide et v_i, v_r ses vitesses dans les deux milieux qu’elle traverse. Le rapport n=c/v est appelé indice de réfraction. Dans le cas de l’air, n est approximativement égale à 1. Pour l’eau, n= 1,33. La loi de Snell-Descartes peut donc s’écrire

(2)   \begin{equation*} n_i \sin{\theta_i} = n_r\sin{\theta_r}. \end{equation*}

Si elle change de milieu la lumière ne voyage plus en ligne droite. Le principe d’Héron d’Alexandrie doit donc être modifié. C’est Fermat en 1657 qui modifia ce principe en énonçant que la lumière se propage sur une trajectoire telle que la durée du parcours entre deux points est minimale.

Si la lumière voyage moins vide dans l’eau que dans l’air, il faudra que son parcours dans l’eau soit raccourci et que celui dans l’air soit allongé pour que le temps de parcours total soit minimal. Si s_1 et s_2 sont respectivement les longueurs de parcours dans l’air et dans l’eau, le temps total de parcours sera donné par

(3)   \begin{align*} t &= \frac{s_1}{v_1} + \frac{s_2}{v_2} \nonumber\\ &=\frac{1}{c}(n_1s_1+n_2s_2). \end{align*}

La quantité (n_1s_1+n_2s_2) est appelée longueur du chemin optique. Selon le principe de Fermat, c’est la longueur du chemin optique qui est minimale et non la distance parcourue. Il est possible de démontrer que la loi de Snell-Descartes découle du principe de Fermat.

Imaginons maintenant une source lumineuse située au point A et un observateur situé au point B. Si le milieu est homogène, par exemple dans l’air, la lumière voyagera en ligne droite de A vers B. Si l’on place un miroir parallèle à l’axe A-B, la lumière pourra s’y réfléchir et atteindre B également. Dire simplement que la lumière emprunte le chemin optique le plus court est donc insuffisant puisque le chemin optique p-q est visiblement plus long que le chemin optique r. Or la lumière emprunte ces deux chemins. Le principe de Fermat doit donc également être modifié. La version moderne du principe de Fermat stipule que la lumière empruntera une trajectoire lorsque qu’une petite variation de cette trajectoire entraine une variation minimale du chemin optique. On dit alors que le chemin optique est stationnaire. Dans le cas de la réflexion, on peut démontrer à partir de ce principe que l’angle d’incidence doit être égal à l’angle de réflexion pour que le chemin optique soit stationnaire. C’est la loi de la réflexion.

Si on place un miroir sur tous les points dont la somme p+q est égale, il n’y aura pas de variation de la longueur du chemin optique entre ces points. Le chemin optique passant par chacun de ces points sera stationnaire et la lumière sera réfléchie en tout point pour atteindre l’observateur en B. Par définition, la forme ainsi crée est une ellipse dont les foyers sont en A et B.

Si l’observateur en B est dans une pièce elliptique dont le mur est fait de miroir, il verra une bande horizontale illuminée sur tout le mur. Si la lumière A s’éteint instantanément, l’observateur verra d’abord la lumière directe s’éteindre puis il verra tous les points du mur s’éteindre simultanément puisque la longueur du chemin optique est la même pour toutes les réflexions.

Considérons maintenant une petite portion de l’extrémité d’une ellipse dont la distance entre les foyers est infini. Par définition, nous obtenons maintenant un miroir parabolique. Les rayons lumineux provenant du foyer à l’infini seront parallèles à l’axe optique et seront tous réfléchis en direction du foyer de la parabole. Cette propriété peut nous servir à trouver la position et la taille d’une image formée par le miroir pour un objet qui n’est pas à l’infini.

Traçons les rayons principaux provenant de l’objet symbolisé par la flèche. Le rayon émit parallèlement à l’axe optique sera réfléchi et passera par le foyer. Par symétrie, le rayon passant d’abord par le foyer sera réfléchi parallèlement à l’axe optique. L’intersection des deux rayons indique la position de l’image.

Soit y_o et y_i la taille de l’objet et la taille de l’image, s_o, s_i les positions de l’objet et de l’image par rapport au foyer et f la distance du foyer . Si on néglige la courbure du miroir, on constate que les deux triangles numérotés ? sont équivalents de même que les deux triangles numérotés ?. En utilisant l’équivalence des triangles ?, On peut écrire que

(4)   \begin{align*} \frac{y_o}{s_o} &= -\frac{y_i}{f} \\ \frac{y_i}{y_o} &=-\frac{f}{s_o}.  \end{align*}

Comme l’image est inversée, y_i sera négatif si y_o est positif. Il faut donc ajouter un signe moins pour que l’égalité soit respectée.

Des triangles ? on peut écrire que

(5)   \begin{align*} \frac{y_o}{f} &= -\frac{y_i}{s_i}\\ \frac{y_i}{y_o} &= -\frac{s_i}{f}.  \end{align*}

Nous avons trouvé deux relations entre les tailles et les positions de l’objet et de son image. En égalisant les équations (4) et (5) on obtient

(6)   \begin{align*} \frac{f}{s_o} &= \frac{s_i}{f} \nonumber \\ s_os_i &= f^2. \end{align*}

C’est la formule de Newton qui lie les positions de l’objet et de son image à la distance focale du miroir.

Définissons à présent p comme étant la distance entre le miroir et l’objet et q la distance entre le miroir et l’image. Soit

(7)   \begin{align*} p &= s_o+f \\ q &= s_i+f. \end{align*}

Voyons ce que donne le rapport q/p. Celui-ci est égale à

(8)   \begin{equation*} \frac{q}{p} = \frac{s_i+f}{s_o+f}. \end{equation*}

En mettant f en évidence au numérateur et au dénominateur on obtient

(9)   \begin{equation*} \frac{q}{p} = \frac{s_i/f+1}{s_o/f+1}. \end{equation*}

En substituant les rapport s_i/f et s_o/f par les équations (4) et (5) , on obtient

(10)   \begin{equation*} \frac{q}{p} = \frac{-y_i/y_o+1}{-y_o/y_i+1}. \end{equation*}

En mettant en évidence le rapport -y_i/y_o du numérateur on obtient après simplification que

(11)   \begin{equation*} \frac{q}{p}=-\frac{y_i}{y_o}. \end{equation*}

Le rapport des tailles de l’image et de l’objet est égal au rapport des distances au miroir de l’image et de l’objet.

Voyons en terminant quel est le produit de p et q. Celui-ci est égale à

(12)   \begin{align*} pq &= (s_o+f)(s_i+f). \nonumber \\ &= s_os_i+s_of+s_if+f^2. \end{align*}

En utilisant la formule de Newton pour remplacer le produit s_os_i par f^2 et en mettant f en évidence, on obtient

(13)   \begin{align*} pq &= f(f+s_o+s_i+f) \nonumber \\ &= f(p+q). \end{align*}

En isolant f on obtient

(14)   \begin{align*} \frac{pq}{p+q}&=f \nonumber \\ \frac{1}{p}+\frac{1}{q} &= \frac{1}{f}. \end{align*}

Il s’agit de la formule de Gauss qui lie les distances entre le miroir et l’objet et entre le miroir et l’image à la distance focale.

Le principe de Fermat nous a permit de décrire la trajectoire des rayons lumineux dans le cas de la réfraction et de la réflexion. Il fut repris par Lagrange en mécanique classique qui le généralisa sous le principe de moindre action. Ce dernier fut ensuite utilisé par Schrödinger dans sa mécanique quantique et ensuite par Feynman dans l’élaboration de la théorie de l’électrodynamique quantique. On peut donc considérer que Fermat, en étudiant l’optique géométrique, a établi les bases d’un des principes les plus prolifiques de la physique.